| Cette capsule a pour but de
vous proposer différentes étapes
à suivre pour analyser le mouvement à accélération constante. Les équations
fondamentales suivantes devraient constituer votre point de départ.
(1) x
= xo + vxo t + ½ ax
t2
(2) vx
= vxo + ax t
Les exercices les plus «
faciles » sont ceux dont toutes les conditions initiales sont
connues. Les conditions initiales
sont xo,
vxo, et ax.
Voici les étapes proposés pour
solutionner les exercices.
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Suite à une première
lecture de l'énoncé, déterminez quelles sont les conditions initiales
connues. Si les conditions initiales sont toutes connues, vous devriez
être en mesure de répondre aux questions posées en utilisant les deux
équations inscrites
plus haut.
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Lorsque les conditions
initiales ne sont pas toutes connues, on doit vous donner de
l'information concernant l'état ultérieur (ou antérieur) du mobile. Par exemple, on peut vous
donner la distance parcourue pour un intervalle de temps donné ou encore la
distance que parcoure un véhicule avant de s'immobiliser. Ses informations placées dans les
deux équations inscrites
plus haut (dans lesquelles se trouvent les conditions initiales connues)
devraient vous permettre de trouver les conditions initiales manquantes.
-
Maintenant que vous avez
toutes les conditions initiales du mouvement, vous devriez être en
mesure de répondre à toutes les questions posées.
-
Rappelez-vous que lorsque
vous désirez déterminer les conditions associées à la rencontre de
deux mobiles, vous devez considérer l'égalité de leurs positions
respectives sur un seul système d'axes commun à ces deux mobiles.
Les trois exemples qui suivent
vont tenter d'illustrer la méthode.
Exemple 1
Un véhicule filant à 100 km/h
freine à un taux constant de 5 m/s2.
(a) Quel temps lui sera
nécessaire pour s'immobiliser ?
(b) Quelle sera la
distance totale de freinage ?
les conditions initiales sont
toutes connues en posant xo = 0 :
xo = 0, vxo =
100 km/h = 27,8 m/s et ax
= - 5 m\s2
donc :
(1) x
= 27,8 t - 2,5 t2
(2) vx = 27,8 - 5 t
L'équation (2) nous donne que
la vitesse est nulle à l'instant t = 5,56 s et l'équation (1) nous
permet de déterminer qu'à cet instant x = 77,2 m (distance
totale de freinage car x0 = 0 ).
Exemple 2
Un automobiliste filant à 72
km/h applique les freins. Trois secondes plus tard sa vitesse n'est plus que
de 35 km/h. Quelle sera la distance totale de freinage nécessaire pour
immobiliser le véhicule (le freinage s'effectue à un taux constant) ?
Les conditions initiales connues
sont :
xo = 0 et vxo =
72 km/h = 20 m/s
donc :
(1) x
= 20 t + 1/2 ax t2
(2) vx = 20 + axt
La condition initiale manquante
est ax
. Nous savons que
lorsque t = 3 s, vx =
35 km/h = 9,72 m/s. En utilisant l'équation
(2) nous
trouvons que l'accélération nécessaire pour que la vitesse passe de 72 à
35 km/h en 3 s est ax = - 3,43 m/s2.
Les conditions initiales étant
maintenant toutes connues, les équations du mouvement sont :
(1) x
= 20 t - 1,71 t2
(2) vx = 20 - 3,43 t
L'équation (2) permet de
déterminer que la vitesse est nulle à t = 5,83 s. En plaçant cette
valeur dans l'équation (1), on trouve une distance totale de freinage de
58,3 m.
Exemple 3
Un véhicule filant à 120 km/h
se met à freiner et 150 m plus loin sa vitesse n'est plus que de 80 km/h.
(a) À partir de l'instant ou sa
vitesse est de 120 km/h, combien de temps le véhicule mettra-t-il pour
s'immobiliser (la décélération du véhicule est constante) ?
(b) Quelle sera la distance
totale parcourue par ce véhicule ?
les conditions initiales connues
sont
xo = 0 et vxo =
120 km/h = 33,3 m/s
(1) x
= 33,3 t + 1/2 ax t2
(2) vx = 33,3 + ax
La condition initiale manquante
est à nouveau ax
. Nous savons que
lorsque x = 150 m, vx = 80 km/h = 22,2
m/s. Nous pouvons donc trouver l'accélération en solutionnant le système
d'équation suivant :
(1) 150 = 33,3 t + 1/2 ax t2
(2) 22,2 = 33,3 + ax
t
On obtient que ax = -
2,06 m/s2.
Les conditions initiales étant
maintenant toutes connues, les équations du mouvement sont :
(1) x
= 33,3 t - 1,03 t2
(2) vx = 33,3 - 2,06 t
L'équation (2) permet de
déterminer que la vitesse est nulle à t = 16,2 s. En plaçant cette
valeur dans l'équation (1), on trouve une distance totale de freinage
(distance totale parcourue) de 270 m.
Exercice
Une voiture filant à 32 m/s se
dirige vers un camion circulant en sens inverse à une vitesse constante de
20 m/s. Lorsque la distance qui les sépare est de 100 m, la
voiture se met à décélérer. Quelle doit être la
décélération de la voiture pour que cette dernière croise le camion avec
une vitesse de 10 m/s (dans le même sens que sa vitesse initiale) ?
réponse: la
décélération doit être de 9,02 m/s2
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