La cycloïde

Cette capsule vous présente la cycloïde. La cycloïde, c'est la courbe décrite par les points situés sur un cercle qui roule sans glisser sur une surface rectiligne. On peut imaginer ainsi la trajectoire décrite par la valve d'un pneu pendant que roule un vélo.

Lorsqu'une roue tourne librement (sans se déplacer) autour de l'axe passant par son centre, la trajectoire décrite par chacun des points sur la roue est un cercle. La vitesse de chacun des points est donc tangente à ce cercle.

Une roue tournant librement autour de son axe. Le vecteur
vitesse est indiqué en rouge. Les images sont à intervalles
d'un quart de tour lorsque la roue tourne dans le sens horaire.

Si la roue roule sans glisser, le mouvement résultant pour tous les points de la roue correspond à la superposition d'un mouvement circulaire et d'un mouvement de translation. Le vecteur vitesse résultante d'un point sur la roue est la somme de sa vitesse tangentielle (associée à la rotation de la roue) et de sa vitesse linéaire de translation (la vitesse du vélo par exemple). Pour un point situé à l'extrémité de la roue, ces deux vitesses ont le même module mais généralement pas la même orientation (sauf au sommet).

La roue est maintenant en contact avec le sol. Au mouvement de rotation des particules
autour de l'axe se superpose un mouvement de translation. La trajectoire résultante est
une cycloïde. La flèche rouge représente la vitesse tangentielle associée à la rotation,
la flèche noire la vitesse de translation de la roue et en vert la vitesse résultante.

Animation montrant la trajectoire (cycloide) décrite par un point situé sur l'extrémité d'une roue.
(Animation by Lawrence S. Husch and University of Tennessee, Knoxville, Mathematics Department)